お世話になっております。
只今、私が構築しているサイトは、通常のページでは独自ドメイン(http://hoge01.com)を使用し、メンバーページとカートページのみレンタルサーバー業者の共用SSLを導入しているために独自ドメインとは全く異なるドメイン(https://secure.hoge02.jp)となっております。
この場合、メンバーログインの際に「ログイン情報を記憶する」をチェックし、ログイン状態のままでブラウザを閉じて、再びブラウザを起ち上げても、前回のログイン状態が保持されないようです。
別のECシステムの事例を出して大変申し訳ないのですが、
http://xoops.ec-cube.net/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=487&forum=2
↑を読んで推測したところ、Welcartの場合も、cookieで管理しているドメインが独自ドメインのみで、共用SSLのドメインに対応していないことが原因ではないだろうかと思い当たりました。
※私の推測が全くの間違い・見当外れだったらすみません;
独自ドメイン+共用SSL(別ドメイン)という環境における半永久的な「ログイン情報の保持」にご対応いただけましたら幸いです。