こんにちは。
「特定ドメインのメールアドレス・携帯電話・住所」が分かっていて、既にそういった受注が発生しているのであれば、目視でチェックするしかないかもしれません。受注(購入)ができないようにしたい場合は、仕様の検討が必要ですが、カスタマイズすれば可能かとは思います。
クレジットカード情報を決済会社に登録するには、Welcart の会員登録をする必要があります。Welcart v1.9.23 より、会員登録の際にメールアドレスの認証ができるようになっています。
Welcart システム設定 – 拡張機能 – 会員登録メルアド認証機能